6 Mayıs 2008 Salı

SORULAR - DOĞAL SAYILAR, TAMSAYILAR

DOĞAL SAYILAR, TAMSAYILAR

1) 8 . 107 + 5 . 103 + 4. 10 sayısı, aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
8 . 107 + 5 . 103 + 4. 10 = 8 . 107 + 0 . 106 + 0 . 105 + 0 . 104 + 0 . 103 + 0 . 102 + 4 . 10 + 0 . 100 şeklinde yazılabilir. Öyleyse, sayı 80005040’tır.


2) Üç ile tam bölünebilen iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Aranan sayı,
A = 12 + 15 + 18 + … + 96 + 99’dur.
A = 3 . (4 + 5 + 6 + … + 32 + 33)
=
= 3 . (33 . 17 – 3 . 2) = 3 . (561 – 6)
= 3 . 55 = 1665

3) 8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 – x = 103 ise x kaçtır?
Çözüm:
Toplamadaki ardışık terimlerin farkı 5 olduğundan, A = 8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 toplamında terim vardır.

4) 8 tane sayının aritmetik ortalaması 15’tir. Bu sayılara 21 ve 29 katılsaydı, aritmetik ortalama kaç olurdu?
Çözüm:
Bu sekiz sayının toplamı,
8 . 15 = 120’dir.
olur.

5) Ardışık 6 tane doğal sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün 7 katına eşittir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Çözüm:
Ardışık 6 doğal sayı; x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 olsun.
x + (x + 1) + … + (x + 5) = 7x
6x + 15 = 7x  x = 15 olur.
Bu sayıların en büyüğü
x + 5 = 15 + 5 = 20’dir.

6) Rakamları 0 ve 1’den farklı olan dört basamaklı abcd sayısının rakamlarının sayı değerleri birer azaltılırsa sayı kaç azalır?
Çözüm:
(abcd) = 2376 olsun.
Bu sayının rakamlarının sayı değerleri birer azaltılırsa sayı 1265 olur.
Fark 2376 – 1265 = 1111’dir.

7) İki basamaklı (ab) sayısının dört katından, (ba) sayısının 3 katı çıkarıldığında fark 218 oluyor. b = 3 ise a kaçtır?
Çözüm:
(ab) = 10a + b ve (ba) = 10b + a’dır. b = 3 ise,
4 . (10a + 3) – 3(10 . 3 + a) = 218
40 . a + 12 – 90 – 3a = 218
37 . a = 296
a = 8 olur.

8) a, b, c ardışık tek sayma sayılarıdır. a . c = 357 ise b + c kaçtır?
Çözüm:
Ardışık üç tek sayı; a = x – 2, b = x, c = x + 2 olsun.
a . c = 357  (x – 2) . (x + 2) = 357
x2 – 4 = 357
x2 = 361 = 192
Buradan x = 19 bulunur.
Buna göre; b = 19, c = 21 ve b + c = 40 olur.

9) Toplamları 57 olan iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 5, klan 3 oluyor. bu iki sayının çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Büyük sayı x ise, küçük sayı (57 – x) olur.
x = (57 – x) . 5 + 3 bölme eşitliğinden,
x = 48 bulunur.
57 – x = 57 – 48 = 9 dur.
Bu iki sayının çarpımı, 48 . 9 = 432 olur.

10)

Yukarıdaki bölme işleminde a kaçtır?
Çözüm:
(8a5) = 8 . 102 + a . 10 + 5
(9a) = 9 . 10 + a dır.
8 . 102 + a . 10 + 5 = 9 . (9 . 10 + a) + 2
bölme eşitliğinden, a = 7 bulunur.

11) İki basamaklı ve birbirinden farklı beş tane sayma sayısının toplamı 451’dir. Bu sayıların en küçüğü en az kaç olabilir?
Çözüm:
Bu sayılardan birinin en küçük olması için, diğerlerinin en büyük olması gerekir.
Sayılardan birinin en küçük değeri x ise,
99 + 98 + 97 + 96 + x = 451  x = 61’dir.

12) Dört basamaklı 7a3a sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre, a hangi rakamdır?
Çözüm:
(7a3a) sayısının 2 ve 3’e tam bölünmesi gerekir.
t  N+ olmak üzere,
7 + a + 3 + a = 3 . t ve a çift olmalıdır.
10 + 2a = 3 . t eşitliği a = 4 için sağlanır.

13) 1! + 2! + 3! + … + 8! + 9! Sayısının 15 ile bölünmesindeki kalan kaçtır?
Çözüm:
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 sayısının çarpanları sırasında 3 ve 5 bulunduğundan, bu sayı 15 ile tam bölünür. Aynı nedenle, 6!, 7!, 8! Ve 9! sayıları da 15 ile tam bölünür.
Buna göre, sadece 1! + 2! + 3! + 4! Toplamının 15 il bölünmesindeki kalanı bulmalıyız.
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 = 15 . 2 + 3 sayısının 15 ile bölünmesindeki kalan 3 olur.

14) Ardışık üç sayma sayısının karelerinin toplamı 149 olduğuna göre, bu üç sayının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu sayılar; x – 1, x ve x + 1 olsun.
(x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 149
3×2 = 147
x2 = 49
x = 7
Bu üç sayı; 6, 7 ve 8’dir.
6 + 7 + 8 = 21’dir.

15) (23)5 . (31)5 + (341)5 toplamının 5 tabanında yazılışı hangisidir?
Çözüm:

(1313)5 + (341)5 = (2204)5

16) (2a3)4 – (12a)4 = (40)5 ise, (2a3)4 + (12a)4 toplamı kaçtır?
Çözüm:
(2 . 42 + a . 4 + 3) – (1 . 42 + 2 . 4 + a) = 4 . 5 eşitliğinden, a = 3 bulunur.
(233)4 + (123)4 = (1022)4 ve
(1022)4 = 1 . 43 + 0 . 42 + 2 . 4 + 2 . 40
= 74 olur.

17) 6 ve 7 sayılarına bölündüğünde 5 kalanını veren üç basamaklı en küçük sayma sayısının en az kaç fazlası 9 ile tam bölünür?
Çözüm:
A = 6x + 5 = 7y + 5 ise, 6 ile 7’nin ekok’u 42 olduğundan;
A = 42 . t + 5’tir. A’nın en küçük üç basamaklı değeri, t = 3 için 131’dir.
131 sayısının rakamlarının toplamı 1 + 3 + 1 = 5 ve 9 – 5 = 4 olduğundan, 131’in 4 fazlası 9 ile tam bölünür.

18) Yandaki toplama tablosuna göre a + b kaçtır?
Çözüm:
Tabloya göre;
x + x = a, x + y = 19, y + y = 22,
x + z = 23 olduğundan;
y = 11, x= 8, z = 15 bulunur.
a = x + x = 8 + 8 = 16,
b = y + z = 11 + 15 = 26 ve
a + b = 16 + 26 = 42 olur.

19) 3 basamaklı abc doğal sayısı 6 ile bölünüyor. ise bac sayısı, aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
Çözüm:
(abc) sayısı 6 ile tam bölündüğünde c çifttir. ve c çift koşulunun sağlanması için c = 2 olmalıdır. Bu durumda,
(abc) = 642 ve (bac) = 462 olur.
462 = 2 . 3 . 7 . 11 sayısının asal çarpanları arasında 22 . 3 bulunmadığından, 462 sayısı 12 ile tam bölünmez.

20) 540 . x = b2 eşitliğinde x ve b sayma sayılarıdır. bu koşula uyan b sayılarının en küçüğü kaçtır?
Çözüm:
540 = 22 . 33 . 5 tir.
22 . 33 . 5 . x = b2 eşitliğinde, x en az 3 . 5 olmalıdır. Buna göre,
22 . 33 . 5. 3 . 5 = b2
22 . 34 . 52 = b2  (2 . 32 .5)2 = b2
b = 2 . 32 . 5 = 90 olur.

21) 12 . 50 . 9 sayısını tam bölen kaç tane sayma sayısı vardır?
Çözüm:
12 = 22 . 3, 50 = 2 . 52 ve 9 = 32 olduğundan, 12 . 50 . 9 = 23 . 52 . 33 olur.
Bu sayıyı tam bölen pozitif sayılar, sayının asal çarpanlarının üslerinin birer fazlalarının çarpımı kadardır.
(3 + 1) . (2 + 1) . (3 + 1) = 48’dir.

22) a, m, n sayma sayılarıdır. a = 9m + 8 = 6n + 5 koşullarını sağlayan 300’den büyük en küçük a sayma sayısı kaçtır?
Çözüm:
a + 1 = 9m + 9 = 6n + 6 olduğundan, a + 1 sayısı hem 9, hem de 6 ile bölünebileceğinden 18 ile de tam bölünür. 300’den büyük ve 18’in tam katı olan ilk sayı 306 olduğundan,
a + 1 = 306  a = 305’tir.

23) 108 ve 180 sayılarının ikisini de tam bölen en büyük sayma sayısı A, ikisine de tam bölünen en küçük sayma sayısı B ise, A + B kaç olur?
Çözüm:
A sayısı, 108 ile 180’in ortak bölenlerinin en büyüğü; B sayısı, ortak katlarının en küçüğüdür.
108 = 22 . 33 ve
180 = 22 . 32 . 5 olduğundan;
A = 22 . 33 . 5 = 540, B = 22 . 32 = 36 ve
A + B = 576 olur.

24) 195 ve 501 sayıları en büyük hangi sayma sayısı ile bölünürse kalanlar sıra ile 15 ve 21 olur?
Çözüm:
195 – 15 = 180 ve 501 – 21 = 480 olduğundan; aranan sayı, 180 ve 480’i tam bölen en büyük sayma sayısıdır. Aranan sayı,
 E.B.O.B. (180; 480) = 22 . 3. 5
= 60’tır.

25)

Yukarıdaki bölme işlemlerinde a, x, y sayma sayılarıdır. x ile y aralarında asal olduklarına göre a kaçtır?
Çözüm:
Verilenlere göre; a sayısı, 480 ile 900’ün E.B.O.B.’udur.
 E.B.O.B. (480; 900) = 22 . 3. 5
= 60’tır.

26) -2 . (3 – 5) – [(5 – 13) : (-2) – (-2)3] işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
-2 . (2 – 5) – [(5 – 13) : (-2) – (-2)3]
= -2 . (-2) – [(-8) : (-2) – (-8)]
= 4 – [4 + 8] = -8

27) (-4)5 + (-4)5 + (-4)5 + (-4)5 = (-1)n . 2m ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Çözüm:
(-4)5 + (-4)5 + (-4)5 + (-4)5 = (-1)n . 2m
olduğundan, n tek ve m = 12’dir.

28) Yandaki toplama işlemine göre, b + c + a kaçtır?
Çözüm:
Verilen işleme göre,
b = 7, a = 6 ve c = 4 olmalıdır.
b + c + a = 17’dir.

29) 6 tabanında (53)6 sayısı 4 tabanında nasıl yazılır?
Çözüm:
(53)6 = 5 . 6 + 3 = 33’tür. Yandaki ardışık bölmelere dikkat ediniz. Yuvarlak içine alınmış rakamlar ters sırada yazılırsa, 33 sayısı, 4 tabanına göre yazılmış olur. Buna göre, 33 = (201)4 olur.

30) (123)5 sayısından büyük, (241)5 sayısından küçük olan kaç tane doğal sayı vardır?
Çözüm:
(123)5 < x < (241)5
(52 + 2 . 5 + 3) < x < (2 . 52 + 4 . 5 + 1)
38 < x < 71
Bu koşulu sağlayan 70 – 38 = 32 tane doğal sayı vardır.

31) 1001010 sayısı, aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
1001010 = 1 . 106 + 0 . 105 + 0 . 104 + 1 . 103 + 0 . 102 + 1 . 10 + 0 . 100
= 106 + 103 + 10

32) 1 + 4 + 7 + 10 + … + 52 + 55 + 58 toplamı kaçtır?
Çözüm:
Toplamadaki ardışık terimlerin farkı 3 olduğundan,
A = 1 + 4 + 7 + 10 + … + 52 + 55 + 58 toplamında,
terim vardır.

33) (2n + 8) + (2n + 12) + (2n + 16) + … + (2n + 40) = 18n + x ise x kaçtır?
Çözüm:
olduğundan, toplamada 9 terim vardır.

Buna göre,
2n . 9 + (8 + 12 + … + 40) = 18n + x
x = 8 + 12 + … + 40 = dır.

34) a, b, c, d, e sayılarının aritmetik ortalaması kaç olur?
Çözüm:
dir.

=
= 2 . 28 = 56’dır.

35) 5 tane ardışık tek doğal sayının toplamı 55’tir. Bu sayıların en küçüğü kaçtır?
Çözüm:
Bu sayılar,
x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4 olsun.
5x = 55  x = 11 ve x – 4 = 11 – 4 = 7 dir.

36) 3 basamaklı a3b sayısının onlar ve yüzler basamaklarındaki rakamları yer değiştirdiğinde sayının değeri 360 azalıyor. a kaçtır?
Çözüm:
(a3b) = 100a + 30 + b
(3ab) = 300 + 10a + b dir.
(100a + 30 + b) – (300 + 10a + b) = 360
90a = 630
a = 7

37) (abc) üç basamaklı bir doğal sayıdır. 10a + b = 74 ve a + c = 10 ise (bac) sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
10a + b = 74 ise; (ab) = 74, a = 7 ve b = 4 tür.
a = 7 ve a + c = 10 ise, c = 3 olur.
(bac) = 473 tür.

38) a bir sayma sayısı ve b çift sayma sayısıdır. Aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?
Çözüm:
2a çift, b çift ve 5 tek sayı olduğundan;
2a + b + 5 tek sayma sayıdır.

39) Yanda, beş basamaklı abab7 sayısının, iki basamaklı ab
sayısına bölme işlemi verilmiştir. m bölümü ile n kalanının
toplamı kaçtır?
Çözüm:
Soruyu, a = 1 ve b = 2 olarak çözebiliriz.

Bölme işlemine göre,
m = 1010, n = 7 ve m + n = 1010 + 7 = 1017 dir.

40) Yandaki bölme işlemine göre, a aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
Çözüm:
a2 – 1 = (b + 1) . b + b
a2 – 1 = b2 + 2b
a2 = b2 + 2b + 1
a2 = (b + 1)2
a = b + 1 bulunur.

41) Her biri üç basamaklı ve birbirinden farklı dört doğal sayının toplamı 716’dır. Bu sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Sayılardan birinin en büyük olması için, diğer üçünün en küçük olması gerekir.
100 + 101 + 102 + x = 716
x = 413 bulunur.

42) Dört basamaklı 1aa2 sayısı 12 ile tam bölündüğüne göre, bu sayının 9 ile bölümündeki kalan aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
(1aa2) sayısının 12’ye tam bölünebilmesi için 4’e ve 3’e bölünmesi gerekir.
Sayının 4’e bölünebilmesi için a sayısı 1,3,5,7,9 olabilir. Sayının 3’e bölünebilmesi için a sayısı 3,6,9 olabilir. Öyleyse, sayı 1332 veya 1992 olacağından 9 ile bölümünden kalan 0 veya 3 olabilir.

43) 0! + 2! + 4! + 6! + … + 16! sayısının 56 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm:
Bu toplamdaki (6!)’den sonraki terimlerin hepsinde 7 ve 8 çarpanı olduğundan, bunların hepsi, 7 . 8 = 56 ile tam bölünür. Kalan sayıların toplamı:
0! + 2! + 4! + 6! = 747 dir.

Kalan 19 dur.

44) Ardışık üç tek sayma sayısının karelerinin toplamı 251 olduğuna göre, bu üç sayının aritmetik ortalaması kaç olur?
Çözüm:
Bu sayılar; x – 2, x, x + 2 olsun.
(x – 2)2 + x2 + (x + 2)2 = 251
x2 = 81  x = 9
Aranan sayılar, 7,9,11 dir.
Bu sayıların aritmetik ortalaması,
dur.

45) İki tabanında yazılmış üç basamaklı sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı, iki tabanında nasıl yazılır?
Çözüm:
(111)2 + (100)2 = (1011)2

46) ifadesi aşağıdakilerin hangisine eşittir?
Çözüm:

=
=
= 100

47) 8 ile bölündüğünde 7 kalanını veren üç basamaklı en küçük doğal sayı a olsun. Aşağıdakilerden hangisi 9 ile tam bölünür?
Çözüm:
a = 8 . k + y sayısında; k = 12 için, a = 103 olur. 103 sayısının 9 ile bölümündeki kalan 1 + 3 = 4 tür. a2 sayısının 9 ile bölümündeki kalan, 42 = 16 sayısının 9 ile bölümündeki kalana eşittir. Bu kalan da 1 + 6 = 7 dir.
7 + 2 = 9 olduğundan, a2 + 2 sayısı 9 ile tam bölünür.

48) Yanda 2 basamaklı (2n) ve (mn) sayılarının çarpımı
gösterilmiştir. m + a + n kaçtır?
Çözüm:
Çarpma işlemine göre;
n = 3, a = 6 ve m = 4 tür.
m + a + n = 4 + 6 + 3 = 13 olur.

49) Üç basamaklı abc doğal sayısı 15 ile tam bölünüyor. a + b + c en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Sayı hem 5, hem de 3 ile tam bölünebildiğinde, c = 5 ve a + b + 5 = 3 . k = 21 olmalıdır.

50) 8! = 2n . 3m . 35 ise m + n kaçtır?
Çözüm:
8! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 27 . 32 . 5 . 7 dir.
27 . 32 . 5 . 7 = 2n . 3m . 35 ise,
n = 7 ve m = 2 dir.
m + n = 9 olur.

51) 2n . 32 . 5 = x eşitliğinde n ve x birer sayma sayısıdır. x sayısını tam bölen 30 tane doğal sayı olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm:
(n + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 30  n = 4

52) x sayısı 7 ile bölündüğünde bölüm y, kalan 5’tir. y sayısı 6 ile bölündüğünde kalan 4’tür. x sayısının 42 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm:
sisteminden,
x = 7 . (6 . t + 4) + 5
x = 42 . t + 33 bulunur.
Buna göre, kalan 33 tür.

53) kesri n ile sadeleştirildiğinde kesri elde ediliyor. a ve b aralarında asal ise n’nin alabileceği en büyük değer kaç olur?
Çözüm:
 n = E.B.O.B. = 22 . 32 . 5
= 180 dir.
olur.

54) Boyutları 12 cm ve 20 cm olan dikdörtgensel bölgelerden en az kaç tanesi, yan yana konarak bir karesel bölge oluşturulur?
Çözüm:
12 ve 20 sayılarının E.K.O.K.’u 60 tır.
Karenin bir kenarı 60 cm olur.
tane düzlemsel bölge.

55) a, b, c negatif tamsayılardır.
olduğuna göre, a’nın en büyük değeri nedir?
Çözüm:
2b = 5c  dir.
a = 3b 

tir.
Buna göre,
c = 2k ise; b = 5k, a = 15k olur.
a negatif tamsayı olduğundan; a nın en büyük değeri, k = -1 için, a = 15 . (-1) = -15 tir.

56) (-3)2 + (-3) + (-5-2) : (-1) işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
(-3)2 + (-3) + (-5-2) : (-1) = 9 – 3 + (-7) : (-1)
= 9 – 3 + 7 = 13

57) a ve b birer tamsayıdır. < 5 ve -3  b < 2 olduğuna göre, 2a – b’nin en büyük değeri ne olur?
Çözüm:
< 5  -5 < a < 5 tir.
-5 < a < 5 ve -3  b < 2 olduğundan;
2a – b’nin en büyük olması için, a’nın en büyük ve b’nin en küçük olması gerekir.
a = 4 ve b = -3 alınarak
2a – b = 2 . 4 – (-3) = 11 bulunur.

58) Yandaki çarpma işleminde çarpım (sonuç) kaçtır?
Çözüm:
332 sayısı 4’e bölünürse, 1. çarpan bulunur.
332 : 4 = 83 olduğundan,
çarpım (sonuç) 83 x 47 = 3901 dir.

59) a tabanında (68) biçiminde yazılan bir sayı, 2a tabanında nasıl yazılır?
Çözüm:
(68)a = 6a + 8
= 3 . (2a) + 8 = (38)2a
Not:
a yerine herhangi bir sayı seçilerek problem çözülebilir. Örneğin a = 10 olsun.
(68)10 = (?)20 olur. Yandaki bölmeden, (68)10 = (38)20 olur.

60) Değişik tabanlara göre yazılmış aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile tam bölünür?
Çözüm:
Seçenekler denenirse,
(231)4 = 1 + 3 . 4 + 2 . 42 = 45 sayısının 3 ile tam bölündüğü görülür.

61) A = 6 . 105 + 2 . 102 + 3, B = 87532 olduğuna göre, A + B kaç olur?
Çözüm:
A = 6 . 105 + 2 . 102 + 3 = 600203 ve
B = 87532 olduğundan, A + B = 687735 tir.
62) 12 + 17 + 22 + … + 47 + 52 = x ise, neye eşittir?
Çözüm:
Toplanan terimlerin sayısı,
dur.

tür.

63) K = {x : x = 3n + 2, 1  n  7, n  N} kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Terim sayısı 7 dir.
K kümesinin elemanlarının toplamı,

64) a , b , c, d sayılarının aritmetik ortalaması 12’dir. b, c, d sayılarının aritmetik ortalaması ise 14’tür. Buna göre a + b, a + c, a + d sayılarının aritmetik ortalaması kaç olur?
Çözüm:
 a + b + c + d = 48,
 b + c + d = 42 dir.
Bu iki eşitlikten a = 48 – 42 = 6 bulunur.

= dir.

65) Ardışık n tane çift sayının en büyüğü, en küçüğünden 12 fazladır. n kaçtır?
Çözüm:
n tane ardışık çift sayı,
x, x + 2, x + 4, …, x + 2 (n – 1) olsun.
[x + 2(n – 1) – x = 12  n = 7 dir.

66) Üç basamaklı abc doğal sayısının birler ve yüzler basamaklarındaki rakamlar yer değiştirince sayı 693 azalıyor. a + c = 9 ise, a kaçtır?
Çözüm:
(abc) = 100a + 10b + c,
(cba) = 100c + 10b + a dır.
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 693
99(a – c) = 693
a – c = 7 dir.
 a = 8 dir.

TEMEL KAVRAMLAR

TEMEL KAVRAMLAR



A. SAYI

1. Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

2. Sayı

Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı sayılar rakam değildir.




B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar

IN ={0, 1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

3. Pozitif Doğal Sayılar

IN+ = {1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.

Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.




4. Tam Sayılar

Z = {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z – , pozitif tam sayılar kümesi : Z+ ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, Z = Z – È Z+ È {0} dır.

5. Rasyonal Sayılar

a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

biçiminde gösterilir.

6. İrrasyonel Sayılar
Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.
Buna göre, kümesinin elemanları biçiminde gösterilemez.
(a, b Î ve b ¹ 0)


Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.


sayıları birer irrasyonel sayıdır.

7. Reel (Gerçel) Sayılar
Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.
biçiminde gösterilir.

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar
kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.


C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

n Î Z olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {... , – 2n , ... , – 4, – 2, 0, 2, 4, ... , 2n , ...}

biçiminde gösterilir.

2. Tek Sayı

n Î Z olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {... , – (2n – 1), ... , – 3, – 1, 1, 3, ... , (2n – 1), ...} biçiminde gösterilir.

T : Tek sayı

Ç : Çift sayıyı göstersin.

T ± T = Ç

T ± Ç = T

Ç ± T = T

Ç ± Ç = Ç
T . T = T

T . Ç = Ç

Ç . T = Ç

Ç . Ç = Ç
T ± T = Ç

T ± Ç = T

Ç ± T = T

Ç ± Ç = Ç



Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.


Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
Sıfır (0) çift sayıdır.
3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

Ü a <>

a, b negatif sayılardır.
c, d pozitif sayılardır.
İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b <>Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.
m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.
Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
4. Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.

En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
Asal sayıların çarpımı asal değildir.
5. Aralarında Asal

En az biri sıfırdan farklı en az iki , ortak bölenlerin eb büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

D. ARDIŞIK SAYILAR
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

Ü n bir tam sayı olmak üzere,

Ardışık dört tam sayı sırasıyla;
n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

Ardışık dört çift sayı sırasıyla;
2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

Ardışık dört tek sayı sırasıyla;
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;
3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

Ardışık Sayıların Toplamı

Ü n bir sayma sayısı olmak üzere,

Ardışık sayma sayılarının toplamı:



Ardışık çift doğal sayıların toplamı :
2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1)

Ardışık tek doğal sayıların toplamı :
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.

4 Mayıs 2008 Pazar

SORULAR-BÖLÜNEBİLME KURALLARI

BÖLÜNEBİLME KURALLARI


1. Birler basamağı 3 olan ve 9 ile bölünebilen üç basamaklı sayılar abc biçiminde yazılacaktır. a>b>c koşulu ile böyle kaç tane sayı yazı-labilir?

A) bir B) iki C) Üç D) dört E) beş



2. a, b, c rakamlardan oluşan abc biçimindeki, üç basamaklı ve üç ile kalansız bölünebilen bir sayı vardır. Bu sayı için b=2a olduğuna göre, mümkün olan farkı c lerin toplamı nedir?

A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21



3. abc biçiminde yazılmış üç basamaklı bir sayı 9 ile bölü-nebilmekte ve 10 ile bölümün-de 4 kalanını vermektedir. a+b toplamının, bu koşullan sağla-yan, kaç değeri vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5



4. a, b, c birer pozitif tam sayıdır.
a= b , c=3b
olduğuna göre c aşağıdakilerden hangisi olabilir ?

A) 126 B) 104 C) 92 D) 81 E) 59



5. 25 basamaklı 2222222222222222222222222 sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

A) 0 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7





6. Sıfırdan ve birbirinden farklı A, B, C, D rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen dört ba-samaklı 24 sayı toplanıyor. Bu toplam için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) 6 ile bölünebilir B) 9 ile bölünebilir
C) 14 ile bölünebilir D) Tek sayıdır
E) Beş basamaklı sayıdır



7 Bütün rakamları sıfırdan ve birbi-rinden farklı olan dört basamaklı en büyük çift sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünemez?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9



8. ab olmak üzere,dört basamaklı a23b sayısı 6 ile tam bölünebildiği-ne göre, a+b toplamı en çok kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16



9. Sıfırdan ve birbirinden farklı K, L ve M rakamla¬rının yerleri değiştiri-lerek elde edilen üç basamaklı 6 sayı toplanıyor. Bu toplamla ilgi M aşağıdaki ifadelerden hangisi ke-sinlikle yanlıştır?

A) 5 basamaklı bir sayıdır
B) 4 basamaktı bir sayıdır
C) 2 ile bölünebilir
D) 3 ile bölünebilir
E) 6 ile bölünebilir



10. İki basamaklı olan ve 12 ile tam bölünebilen en büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki fark kaçtır?

A) 84 B) 80 C) 76 D) 72 E) 60


11. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9


12. Beş basamaklı 561ab sayısı 30 ile bölünebildiğine göre, a yerine gelebilecek en büyük rakam kaçtır?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5



13. Birler basamağı 0 olan, 3 ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, 3 ile bölünebilen, iki basamaklı en küçük pozitif doğal sayıya oranı kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2



14. Üç basamaklı 84a sayısının 6 ile kalansız bölünebilmesi için, a kaç tane farklı değer alabilir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1



15. abcd ve a, b, c, d tek sayılar olmak üzere, abcd dört basamaklı en büyük sayıdır? Bu sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 11 E) 13




16. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile ka-lansız bölünebilir?

A) 11 B) 9 C) 6 D) 4 E) 3



17. 4A6B sayısı 15 ile kalansız bö-lünebilen, dört basamaklı bir sayı-dır. Bu sayıda A nin alabileceği de-ğerler toplamı kaçtır?

A) 20 B) 22 C) 26 D) 33 E) 34


18. Üç basamaklı a2b sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir. Aynı sayı 5 ile bölündüğünde kalan 4 ol-duğuna göre, a nın alabileceği de-ğerler toplamı nedir?

A) 12 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18




19. Bir x sayısının rakamlarının sa-yı değerlerinin toplamı 25 tir. Buna göre, x2 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4



20. Beş basamaklı 91M1N sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, M + N toplamının en büyük değeri kaçtır?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17



21. Rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı 3KM sayısı 3 ve 5 ile kalansız bölünebiliyor. Buna göre, K kaç farklı değer alabilir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6



22. 9!+10! sayısı aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölünemez?

A) 15 B) 24 C) 26 D) 44 E) 72



23. 3, 7 ve 8 ile kalansız bölünebilen 4000 den küçük sayıların en büyüğünün onlar basamağındaki rakam kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8


24. a3bc ve a4bc dört basamaklı birer doğal sayıdır. a3bc sayısı 15 e bölündüğünde kalan 6 olduğuna göre, a4bc sayısı 15 e bölündüğünde kalan kaç olur?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7


ASAL SAYILAR


25. Aşağıdaki sayılardan hangisi asal alabilir?

A) 5!+7! B) 27-1 C) 54321
D) 37-1 E) 12357



BİR SAYININ BÖLENLERİ



26. n pozitif bir tamsayı ve 120.n çarpımı bir tam kare olduğuna göre n en küçük değeri aşağıda-ki ara¬lılıkların hangisindedir?

A) [6, 15] B) [16, 25] C) [26, 35]
D) [36, 45] E) [46, 55]



27. Kendisinden farklı pozitif çar-panların toplamı kendisine eşit olan pozitif tamsayıya, mükemmel tam sayı denir. Buna göre, aşağıdakiler-den hangisi mükemmel sayıdır?

A) 7 B) 18 C) 28 D) 35 E) 37



28. n pozitif bir tamsayı olmak üze-re, 180.n çarpımının tam kare ol-ması için n nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6



29. a, b pozitif tamsayılar ve olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 33 B) 29 C) 26 D) 20 E) 15



OBEB VE OKEK


30. (x+1), 3(x-1)2, 7(x3-1)
ifadelerinin en küçük ortak katı aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) (x+1)(x-1)(x2+x+1)
B) 21(x+1)(x-1)(x2+x+1)
C) 21(x+1)2(x-1)(x2+x+1)
D) 21(x+1)(x-1)2(x2-x-1)
E) 21(x+1)(x-1)2(x2+x+1)



31. Mehmet bilyelerini beşer beşer, altışar altışar ve yedişer yedişer sayınca hep bir bilyesi artıyor. Buna göre Mehmet’in en az kaç bilyesi vardır?

A) 209 B) 211 C) 216 D) 217 E) 218



32. Bir sepetteki güller 5 er 5 er de-metlenince 2 gül, 7 şer 7 şer demetlenince de 3 gül artmaktadır. Buna göre, sepette en az kaç gül vardır?

A) 17 B) 24 C) 27 D) 37 E) 38



33. 7 ve 5 ile bölündüğünde, her iki bölümde de 2 kalanını veren en kü-çük pozitif sayının rakamları top-lamı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11



34. Ortak katlarının en küçüğü 30 olan farklı iki sayının toplamı en çok kaçtır?

A) 55 B) 45 C) 33 D) 31 E) 17



35. Bu kutudaki kalemlerin sayısı-nın en az 87, en çok 130 olduğu bilinmektedir. Kutudaki kalemler 3 er, 6 şar, 7 şer sayıldığında her seferinde iki kalem artmaktadır. Buna göre, kutuda kaç kalem vardır?

A) 108 B) 114 C) 117 D) 120 E) 128



36. Toplamları 26 olan a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katı 105 tir. Buna göre, a-b kaçtır?

A) 12 B)13 C) 14 D)15 E) 16






1-B 1981 ÖSS 2-D 1982 ÖSS 3-B 1983 ÖSS 4-A 1983 ÖYS 5-D 1988 ÖSS

6-A 1990 ÖYS 7-E 1991 ÖSS 8-C 1992 ÖYS 9-A 1992 ÖYS 10-A 1992 ÖYS

11-A 1993 ÖYS 12-A 1994 ÖSS 13-D 1994 ÖYS 14-D 1995 ÖSS 15-A 1995 ÖYS

16-E 1997 ÖSS 17-D 1998 ÖSS 18-E 1998 ÖYS 19-E 1999ÖSS1 20-A 1999ÖSS2

21-D 2000 ÖSS 22-C 2000 ÖSS 23-C 2003 ÖSS 24-A 2003 ÖSS 25-B 1975 ÜSS

26-C 1987 ÖSS 27-C 1993 ÖSS 28-D 1995 ÖSS 29-A 1997 ÖSS 30-E 1974 ÜSS

31-B 1988 ÖSS 32-A 1991 ÖYS 33-D 1991 ÖSS 34-B 1996 ÖSS 35-E 1996 ÖSS

36-E 2000 ÖSS

28 Nisan 2008 Pazartesi

BÖLME VE BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

A.BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B  0 olmak üzere,

bölme işleminde,

A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.

A = B . C + K dır.

Kalan, bölenden küçüktür. (K <>

Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda K ile A değişmez.

K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k  Z olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k

olmalıdır.

Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının (...a5a4a3a2a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ...

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının (...abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k

ve k  Z olmalıdır.

(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.


Buna göre,

A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.

A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.

D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.

AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.

6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck olsun.

A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.

A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir.

A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.

A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:

A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.

A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı

(a + b + c) dir.

A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:


KÖKLÜ SAYILAR

A. TANIM
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.


B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELİKLERİ
1) n tek ise, daima reeldir.
2) n çift ve a < alt="" src="http://www.matematikaski.com/kok_kesir03.gif" onload="NcodeImageResizer.createOn(this);" border="0" originalheight="28" originalwidth="30"> reel sayı belirtmez.
3) a ³ 0 ise, daima reeldir.
4) a ³ 0 ise,
5) n tek ise,
6) n çift ise,
7)
8) n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

9) n tek ise,

10) a, pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,

11) k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere,

12) (a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise,

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER
1. Toplama - Çıkarma
Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır.
Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.


2. Çarpma
n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,


3. Bölme
Uygun koşullarda,


4. Paydayı Kökten Kurtarma
Uygun koşullarda,







D. İÇ İÇE KÖKLER

V) 0 < y < x olmak üzere,


E. SONSUZ KÖKLER

Yukarıdaki son iki özelikte a, ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise, v. nin cevabı bu sayıların büyüğü, vı. nın cevabı bu sayıların küçüğüdür.

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA
Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.

19 Nisan 2008 Cumartesi

FONKSİYONLAR


A. TANIM

A ¹ Æ ve B
¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı
verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez
ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar
f ile gösterilir.
x Î A ve
y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ®
f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat
her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt
kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
  1. A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
  2. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
  3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
    2m . n – nm dir.

Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon
olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu
doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı
kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,
i) f ± g: A Ç B
® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f . g: A Ç B ® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon
bire birdir.
x1, x2
Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n
³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon
denir.
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3
. 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde
eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı

mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile
gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana
eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü xÎA ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy
eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine
göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
x Î A için
f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna
permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup


F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1
de fonksiyondur.

Ü Uygun koşullarda,
f(a) = b Û f– 1(b) = a dır.
Ü f : IR® IR, f(x) = ax + b ise, f
1(x) =
dır.

Ü (f – 1) – 1
= f dir.
Ü (f – 1(x)) – 1
¹ f(x) tir.
Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y
= f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Ü B Ì IR
olmak üzere,

Ü B Ì IR
olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna
f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
1) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için
fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme
özelliği olmadığını değiştirmez.
2) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
3)
foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)
elemanıdır.
4)
fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
5)
(fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.

ÜSLÜ SAYILAR

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı
olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.
k . an ifadesinde k ya katsayı,
a ya taban n ye üs denir.
B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELLİKLERİ

1) a ¹0 ise,
a0 = 1 dir.
2) 00 tanımsızdır.
3) n ÎIR ise,
1n= 1 dir.
4)

5) (am)n = (an)m
= am . n
6)

7)Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
8) Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
9) n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,
  1. (– a)2n = a2n ifadesi
    daima pozitiftir.
  2. (– a2n) = – a2n ifadesi
    daima negatiftir.
  3. (– a)2n + 1 = – a2n + 1
    ifadesi
a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.
10) (n + 1) basamaklı
sayısı
a . 10n ye eşittir.
11)


C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

  1. x . an + y . an – z . an = (x + y – z)
    . an
  2. am . an = am + n
  3. am . bm = (a . b)m


D. ÜSLÜ DENKLEMLER

  1. a ¹
    0, a ¹
    1, a
    ¹ – 1 olmak üzere,
  2. ax = ay ise x = y
    dir.
  3. n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn
    = yn ise,
  4. x = y dir.
  5. n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn
    = yn ise,
  6. x = ± y dir.

18 Nisan 2008 Cuma

RASYONEL SAYILAR

RASYONEL SAYILAR


A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.
Pay
Kesir cizgisi
Payda
··

B. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

  • basit kesir ise
  • pozitif basit kesir ise ;
2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

  • bileşik kesir ise,
3. Tam sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

Her bileşik kesir bir tamsayılı kesir biçiminde yazılabilir.


C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

k ¹ 0 olmak üzere,


2. Toplama - Çıkarma

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

3.Çarpma -Bölme



4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

  1. Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
  2. Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
  3. Çarpma - bölme yapılır.
  4. Toplama - çıkarma yapılır.
Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir.D.


ONDALIKLI SAYILAR

1. Ondalıklı Sayı
a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı isebiçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı denir.

Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalıklı Sayı

Bir ondalıklı sayıda ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.
a,bcbcbc ... = a, bc dir.

3. Ondalık Sayılarda İşlemler

a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Tüm sayı - Devretmeyen sayı
Verilen sayı= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
Devreden rakam sayısı kadar 9devretmeyen
kadar rakam sayısı kadar 0(sıfır)


Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.
3,9 =4; 3,59 =3,6 dir.

E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

I. Yol:

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

II. Yol:

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

III. Yol:

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Üx, kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,