BÖLME VE BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

A.BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B  0 olmak üzere,

bölme işleminde,

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.

• A = B . C + K dır.

• Kalan, bölenden küçüktür. (K <>

• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda K ile A değişmez.

• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

• ... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı a_na_n-1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k  Z olmak üzere,

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ... = 7k

olmalıdır.

 Birler basamağı a₀, onlar basamağı a₁, yüzler basamağı a₂, ... olan sayının (...a₅a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının) 7 ile bölümünden kalan

(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ...

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

 Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının (...abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı a_na_{n–1 ...} a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... = 11 . k

ve k  Z olmalıdır.

 (n + 1) basamaklı a_na_{n–1 ...} a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile bölümünden kalan

(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K₁, K₂ uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K₁ ve

B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.

Buna göre,

• A . B nin C ile bölümünden kalan K₁ . K₂ dir.

• A ± B nin C ile bölümünden kalan K₁ ± K₂ dir.

• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K₁ dir.

• A^E nin C ile bölümünden kalan K₁^E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.

 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k olsun.

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.

• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir.

• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:

• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.

• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı

– (a + b + c) dir.

• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

• A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

KÖKLÜ SAYILAR

A. TANIM
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.


B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELİKLERİ
1) n tek ise, daima reeldir.
2) n çift ve a < alt="" src="http://www.matematikaski.com/kok_kesir03.gif" onload="NcodeImageResizer.createOn(this);" border="0" originalheight="28" originalwidth="30"> reel sayı belirtmez.
3) a ³ 0 ise, daima reeldir.
4) a ³ 0 ise,
5) n tek ise,
6) n çift ise,
7)
8) n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

9) n tek ise,

10) a, pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,

11) k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere,

12) (a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise,

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER
1. Toplama - Çıkarma
Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır.
Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.


2. Çarpma
n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,


3. Bölme
Uygun koşullarda,


4. Paydayı Kökten Kurtarma
Uygun koşullarda,







D. İÇ İÇE KÖKLER

V) 0 < y < x olmak üzere,


E. SONSUZ KÖKLER

Yukarıdaki son iki özelikte a, ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise, v. nin cevabı bu sayıların büyüğü, vı. nın cevabı bu sayıların küçüğüdür.

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA
Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.

FONKSİYONLAR

A. TANIM

A ¹ Æ ve B

¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı

verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez

ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar

f ile gösterilir.

“ x Î A ve

y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu

f : A ® B ya da x ®

f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}

biçiminde de gösterilir.

Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat

her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt

kümesidir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

1. A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
2. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
   2m . n – nm dir.

Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon

olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu

doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı

kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A ® IR
g : B ® IR

olmak üzere,

i) f ± g: A Ç B
® IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f . g: A Ç B ® IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon

bire birdir.

“ x1, x2

Î A için, f(x1) = f(x2)iken

x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n (n

³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon

denir.

f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir.

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya

tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3

. 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde

eşlenmemiş eleman vardır.

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya

tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı

mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

f : IR ® IR

f(x) = x

birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü Birim fonksiyon genellikle I ile

gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana

eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Ü xÎA ve c Î B için

f : A ® B
f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.

Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy

eksenine göre simetriktir.

Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine

göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A ® B
g : A ® B

“x Î A için

f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna

permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup


F. TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1

de fonksiyondur.

Ü Uygun koşullarda,

f(a) = b Û f– 1(b) = a dır.

Ü f : IR® IR, f(x) = ax + b ise, f –

1(x) =

dır.

Ü (f – 1) – 1

= f dir.

Ü (f – 1(x)) – 1

¹ f(x) tir.

Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y

= f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Ü B Ì IR

olmak üzere,

Ü B Ì IR

olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON

1. Tanım

f : A ® B

g : B ® C

olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna

f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

1) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

fog ¹ gof

Bazı fonksiyonlar için

fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme

özelliği olmadığını değiştirmez.

2) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

3)

foI = Iof = f

olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)

elemanıdır.

4)

fof – 1 = f – 1of = I

olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

5)

(fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.

ÜSLÜ SAYILAR

A. TANIM a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere, ifadesine üslü ifade denir. k . an ifadesinde k ya katsayı, a ya taban n ye üs denir. B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELLİKLERİ 1) a ¹0 ise, a0 = 1 dir. 2) 00 tanımsızdır. 3) n ÎIR ise, 1n= 1 dir. 4) 5) (am)n = (an)m = am . n 6) 7)Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. 8) Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. 9) n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere, (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir. 10) (n + 1) basamaklı sayısı a . 10n ye eşittir. 11) C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM x . an + y . an – z . an = (x + y – z) . an am . an = am + n am . bm = (a . b)m D. ÜSLÜ DENKLEMLER a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere, ax = ay ise x = y dir. n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise, x = y dir. n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise, x = ± y dir.

RASYONEL SAYILAR

RASYONEL SAYILAR


A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.
Pay
Kesir cizgisi
Payda
··

B. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

• basit kesir ise

• pozitif basit kesir ise ;

2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

• bileşik kesir ise,

3. Tam sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

Her bileşik kesir bir tamsayılı kesir biçiminde yazılabilir.


C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

k ¹ 0 olmak üzere,


2. Toplama - Çıkarma

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

3.Çarpma -Bölme



4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1. Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2. Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3. Çarpma - bölme yapılır.
4. Toplama - çıkarma yapılır.

Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir.D.


ONDALIKLI SAYILAR

1. Ondalıklı Sayı
a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı isebiçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı denir.

Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalıklı Sayı

Bir ondalıklı sayıda ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.
a,bcbcbc ... = a, bc dir.

3. Ondalık Sayılarda İşlemler

a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Tüm sayı - Devretmeyen sayı
Verilen sayı= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾Devreden rakam sayısı kadar 9devretmeyen
kadar rakam sayısı kadar 0(sıfır)

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.
3,9 =4; 3,59 =3,6 dir.

E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

I. Yol:

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

II. Yol:

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

III. Yol:

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Üx, kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,