PROBLEMLER

A. PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ

Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu

oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.

Buna göre, soruları çözerken;

1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.

2) Verilenler matematik diline çevrilir.

3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.4) Bulunanın, soru

cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.

1) Herhangi bir sayı x olsun.

Sayının a fazlası : x + a dır.

Sayının a fazlasının yarısı :

Sayının yarısının a fazlası :

Sayının küpünün a eksiği :

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.

Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir.

Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir.

Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir.

3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.

Ardışık üç tam sayının toplamı :x + (x + 1) + (x + 2) dir.

Ardışık üç çift sayının toplamı :x + (x + 2) + (x + 4) tür.

C. KESİR PROBLEMLERİ

ye kesir denir.

* Herhangi bir sayı x olsun.

Bu sayının 1/a 'sı

Bu sayı 1/a sı kadar 1/a sı kadar artırılırsa :

Bu sayının a/b si ile c/d sinin toplamı :

D. YAŞ PROBLEMLERİ

* Bir kişinin yaşı x ise,

* T yıl önceki yaşı : x - T olur.

* T yıl sonraki yaşı : x + T olur.

* Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.

* İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.

* İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.

* n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;A işçisi tek başına a saatte,B işçisi tek başına b saatte,C işçisi tek başına c

saatte yapabiliyorsa;

* A işçisi 1 saatte işin 1/a sını bitirir.

* A ile B birlikte t saatte işinsini bitirir.

A, B, C birlikte t saatte işin

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.

A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,

Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.

A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.

Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.

Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

sını doldurur.

Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.

F. HAREKET PROBLEMLERİ

V : Hareketlinin hızı

x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol

t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket

ederlerse karşılaşma süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket

ederlerse karşılaşma süresi yine

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket

ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı

büyük olan aracın hızı küçük olan aracıyakalama süresi yine

Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,

Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,

G. YÜZDE PROBLEMLERİ

A sayısının % a sı :

A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı :

A ya A nın % a sı eklenirse :

A dan A nın % a sı çıkarılırsa :

H. FAİZ PROBLEMLERİ

F : Faiz miktarı

A : Ana para (Kapital)

n : Yıllık faiz oranı

t : Kapitalin faizde kalma süresiolmak üzere,

t yılda,

t ayda,

t günde

Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize

bileşik faiz denir.Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl

sonra

I. KARIŞIM PROBLEMLERİ

A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik

tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı

Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı

SAYI BASAMAKLARI VE TABANLAR

Sayı Basamakları ve Tabanlar

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.

B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.

a b c = 10³ . a + 10 . b + c

• ab = 10 . a + b
• abc = 100 . a + 10 . b + c
• aaa = 111 . a
• ab + ba = 11 . (a + b)
• ab – ba = 9 . (a – b)
• abc – cba = 99 . (a – c)

C. TABAN

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)_T = a . T³ + b . T² + c . T + d dir.

Burada,

• T, 1 den büyük doğal sayıdır.
• a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
• Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
• (abc, de)T = a . T ² + b . T + c + d . T ^{– 1} + e . T ^{– 2} dir.

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.

OBEB - OKEK

OBEB - OKEK


A. ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ

(OBEB)

En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB biçiminde gösterilir.

OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir.


• Eğer a ¹ 0 veya b ¹ 0 ise OBEB tanımlı olup OBEB(a, b) ³ 1 dir.

• a = b = 0 ise OBEB (a, b) tanımsızdır.



B. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ

(OKEK)

Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK biçiminde gösterilir.

OKEK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OKEK ini verir.


• a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise,

OKEK(a, b) tanımsızdır.


a ve b pozitif tam sayı, a £ b ise,

• OBEB(a, b) £ a £ b £ OKEK(a, b)

• a . b = OBEB(a, b) . OKEK(a, b)

• a ile b aralarında asal ise, OBEB(a, b) = 1

dir.




Ü kesirleri ile tam bölünebilen en küçük pozitif kesir



Ü a ve b pozitif tam sayı olmak üzere,





Ü İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına her zaman eşit değildir.

ORAN ORANTI VE YÜZDELER

ORAN,ORANTI VE YÜZDELER

Oran,Orantı Ve Özelikleri

Oran:
Aynı cinsten iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.Oran’ın birimi yoktur.
Örnek:
Ahmet’in parası = 300 000 TL. = 3
Ayşe’nin parası =500 000 TL. = 5

İlkay’ın boyu = 140cm = 14 = 7
Erdal’ın boyu = 180cm =18 = 9


Orantı:
2 veya daha fazla orandan oluşan eşitliklere orantı denir.

Genel olarak a = c orantıları birbirine eşitse orantı:
b d
a = c veya a:b=c:d biçiminde yazılabilir.
b d 1.terim a = c 3.terim
2.terim b d 4.terim

a = c
b d
içler dışlar
İçler(ortalar)

a:b = c:d

Dışlar(yanlar)



Orantının Özelikleri

1:Bir orantıda içler çarpımı,dışlar çarpımına eşittir.

a = c a.d = b.c 2 = 4 2.6 = 3.4
b d 3 6 12 = 12


2:Bir orantıda dışların yerleri değiştirildiğinde orantı bozulmaz.

a = c d = c 2 = 4 6 = 4 6.2 = 3.4
b d b a 3 6 3 2 12 = 12


3:Bir orantıda oranların her ikisindede payların ve paydaların yerleri değiştirilirse orantı bozulmaz.

a = c b = d 2 = 4 3 = 6 3.4 = 6.2
b d a c 3 6 2 4 12 = 12


4:Bir orantıda içlerin yerleri değiştirildiğinde orantı bozulmaz.

a = c a = b 2 = 4 2 = 3 2.6 = 3.4
b d c d 3 6 4 6 12 = 12

Örnek:
1: 5 = X 8.X = 5.24 8X = 120 X =120
8 24 8
X = 15




Orantı Çeşitleri

Doğru Orantı:

İki çokluktan biri çoğalırken diğeri de aynı oranda çoğalıyorsa yada biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa böyle çokluklara doğru orantılı çokluklar denir.
Örn:
1:2 defter 1 600 000 olursa 8 defter kaç TL olur?

2 defter 1 600 000 olursa


8 defter X olur.
D.O
X = 8.1 600 000 = 6 400 000 TL.
2
2:a ile b doğru orantılıdır.a=4 iken b=20 ise a=7 iken b kaç olur?

a = k 4 = k k = 1
b 20 5
a = 1 7 = 1 35
b 5 b 5

Uyarı:
Doğru orantı da içler çarpımı dışlar çarpımına eşitlenir.k sabit bir sayı olmak üzere y = k şeklinde ifade edilir. X


Ters Orantı:

İki çoklukdan biri çoğalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa yada biri azalırken diğeri aynı oranda çoğalıyorsa böyle çokluklara ters orantılı çokluklar denir.
Ters orantılı çokluklar arasında X.y = k bağlantısı vardır.
Örn:
1:Boş bir havuzu 4 musluk 9 saatte doldurduğuna göre 12 musluk kaç saatte doldurur?

4 musluk 9 saatte dol.

12 musluk X sa. Dol.
T.O
X = 4.9 X = 3 sa. dol.
12
2:X ile y ters orantılıdır.X = 9 iken y = 16 ise X = 24 iken y kaçtır?

9.16 = k 144 = k
X.y = 144 24. y =144 y = 6

REEL SAYILAR

Reel sayılar

Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel

sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık

açılımı vardır. Mesela

veya

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra

bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise

rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak

düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel Sayılara Örnekler

Bazı Yan Bilgiler:

-Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü rasyonel değildir.

-Rasyonel sayılar kümesi'nin sayılabilir olmasına karşılık Reel sayılar kümesi
sayılamazdır.

-İrrasyonel sayılar da kendi içlerinde "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" olarak ikiye
ayrılırlar.

-İrrasyonel sayıların varlığının ilk Yunan matematikçi Pisagor tarafından anlaşılmış
olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu
düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır.

-Arşimet Özelliği: x ve y birer reel sayı olsun ve x sıfırdan büyük olsun. Bu durumdanx > y

özelliğini sağlayan bir n doğal sayısı vardır.

MODÜLER ARİTMETİK

MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde

tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Ü

ise , a º b (mod m) a º b + mk, k Î Z

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu

kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa,

denklik sınıfları

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m

biçiminde gösterilir.

Buna göre, Z/m = {0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1)} dir.

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)

c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)

2) a – c º b – d (mod m)

3) a . c º b . d (mod m)

4) an º bn (mod m)

5) a – b º 0 (mod m)

6) k . a º k . b (mod m) dir.

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Üx, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

x^{m – 1} º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış

biçimi

m = ak . b r . c p ve

x^T º 1 (mod m) dir.

m asal sayı ise ,

(m - 1)!+1 º 0 (mod n) dir.

DOĞAL SAYILAR

DOĞAL SAYILAR

0, 1, 2, 3, ... , 50, ... devam eden sayılara doğal sayılar denir.

Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek

doğal sayılar denir.

n bir doğal sayı iken;

Çift doğal sayılar : 2

Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.

Sayma Sayıları

Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.

S = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı

noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.

ONLUK SAYMA DÜZENİ

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik

gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3

birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.

RAKAM

Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.

Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.

Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.

BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da

bağıl değer denir.

Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.

SAYI DEĞERİ

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere

sayı değeri ya da mutlak değeri denir.

ÇÖZÜMLEME

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, ... varsa

bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.

2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +

10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.


2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya

= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti)

5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti)

3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.

10 = 10 x 10 = 100

5 = 5 x 5 x 5 = 125

4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256

3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15

Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1

Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1

1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak

yazılır.

ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME

Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır.

5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)

=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür.

Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.

Küçük < Büyük

Büyük > Küçük

< işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür.


DÖRT İŞLEM


DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA

AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir.

A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise

s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6

Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. İşlemin sonucuna da toplam denir.

Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı

olan çokluklar toplanabilir.

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir.

3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir.

9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir.

aD, bD için (a + b)D dir.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme

özelliği denir.

3 + 5 = 8 = 5 + 3

aD, bD ise; a + b=b + a dir.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe

toplama işleminin birleşme özelliği denir.

3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13

aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir.

Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı

sağlanır.

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir.

5 + 0 = 5

0 + 6 = 6

Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır.

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA

A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}

s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir.

s(A) - s(B) = s(C)

5 - 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır.

B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu

farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir.

Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde

yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir.

ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir.

Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir.

Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0

Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla

beraber 0-3 3'tür.

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA

Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal

sayısına a ile b'nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )' dır.


ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine

göre kapalıdır denir.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın

değişme özelliği denir.

4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür.

aD, bD için; a x b = b x a 'dır.

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe

çarpma işleminin birleşme özelliği denir.

4D, 5D, 2D için

4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır.

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma

işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir.

aD için a x 1=1 x a=a 'dır.

YUTAN ELEMAN

Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman

denir.

4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır.

aD için 0 x a=a x 0=0 'dır.

ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve

aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) - (a x c) 'dir.

Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir.

ÇARPMADA KOLAYLIKLAR

Bir sayıyı 10, 100, 1000, ... ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, ... sıfır yazılır.

14 x 10 = 140

16 x 100 = 1600

22 x 1000 = 22000

7 x 10000 = 70000

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4'e bölünür.

25 x 36=(36 x 100)/4=900

Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür.

78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200

Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür.

89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445

Bir sayı 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır.

56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504

DOĞAL SAYILARDA BÖLME

aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye

bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir.


BÖLMENİN SAĞLAMASI

Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır.

Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir.

BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur.

4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir.

Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur.

5D, 15D için, 15/5 5/15

Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

(24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12

Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.

2/1 1/2 2 0,5

Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir.

aD için a/1=a dır. 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101

Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.

0/a=0 'dır. 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0

0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir.

aD için a/a=1 'dir. 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1

Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.

5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız

Bir sayıyı 10, 100, 1000 ... ile bölmek;


10'a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40

100'e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2

1000'e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3