FONKSİYONLAR

A. TANIM

A ¹ Æ ve B

¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı

verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez

ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar

f ile gösterilir.

“ x Î A ve

y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu

f : A ® B ya da x ®

f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}

biçiminde de gösterilir.

Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat

her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt

kümesidir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

1. A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
2. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
   2m . n – nm dir.

Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon

olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu

doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı

kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A ® IR
g : B ® IR

olmak üzere,

i) f ± g: A Ç B
® IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f . g: A Ç B ® IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon

bire birdir.

“ x1, x2

Î A için, f(x1) = f(x2)iken

x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.

Ü s(A) = m ve s(B) = n (n

³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon

denir.

f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir.

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya

tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3

. 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde

eşlenmemiş eleman vardır.

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya

tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı

mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

f : IR ® IR

f(x) = x

birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü Birim fonksiyon genellikle I ile

gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana

eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Ü xÎA ve c Î B için

f : A ® B
f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.

Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy

eksenine göre simetriktir.

Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine

göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A ® B
g : A ® B

“x Î A için

f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna

permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup


F. TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1

de fonksiyondur.

Ü Uygun koşullarda,

f(a) = b Û f– 1(b) = a dır.

Ü f : IR® IR, f(x) = ax + b ise, f –

1(x) =

dır.

Ü (f – 1) – 1

= f dir.

Ü (f – 1(x)) – 1

¹ f(x) tir.

Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y

= f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Ü B Ì IR

olmak üzere,

Ü B Ì IR

olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON

1. Tanım

f : A ® B

g : B ® C

olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna

f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

1) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

fog ¹ gof

Bazı fonksiyonlar için

fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme

özelliği olmadığını değiştirmez.

2) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

3)

foI = Iof = f

olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)

elemanıdır.

4)

fof – 1 = f – 1of = I

olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

5)

(fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.